Интеграл дроби примеры

Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Зарегистрируйтесь на и будьте в курсе новостей интеграл дроби примеры Высшая математика: Не нашлось нужной задачи? Учимся решать: Аналитическая геометрия: Элементы высшей алгебры: Пределы: Производные функций: Функции и графики: ФНП: Интегралы: Дифференциальные уравнения: Числовые ряды: Функциональные ряды: Кратные интегралы: Комплексный анализ: Теория вероятностей: Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, мне об этом Кнопка для сайта: Когда нет времени: Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену Интегрирование дробно-рациональной функции. Метод неопределенных коэффициентов Продолжаем заниматься интегрированием дробей. Интегралы от некоторых видов дробей мы уже рассмотрели на урокеи этот урок в некотором смысле можно считать продолжением. Для успешного понимания материала необходимы базовые навыки интегрирования, поэтому если Вы только приступили интеграл дроби примеры изучению интегралов, то есть, являетесь чайником, то необходимо начать со статьи. Как ни странно, сейчас мы будем заниматься не столько нахождением интегралов, сколько… решением систем линейных уравнений. В этой связи настоятельно рекомендую посетить урок А именно — нужно хорошо ориентироваться в методах подстановки «школьном» методе и методе почленного сложения вычитания уравнений системы. Что такое дробно-рациональная функция? Простыми словами, дробно-рациональная функция — это дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены либо произведения многочленов. При этом дроби является более навороченными, нежели те, о которых шла речь в статье. Интегрирование правильной дробно-рациональной функции Сразу пример и типовой алгоритм решения интеграла от дробно-рациональной функции. Пример 1 Найти неопределенный интеграл. Первое, что мы ВСЕГДА делаем при решении интеграла от дробно-рациональной функции — это выясняем следующий вопрос: является ли дробь правильной? Данный шаг выполняется устно, и сейчас интеграл дроби примеры объясню как: Сначала смотрим на числитель интеграл дроби примеры старшую степень многочлена: Старшая степень числителя равна двум. Теперь смотрим на знаменатель и выясняем старшую степень знаменателя. Напрашивающийся путь — это раскрыть интеграл дроби примеры и привести подобные слагаемые, но можно поступить проще, в каждой скобке находим старшую степень и мысленно умножаем: — таким образом, старшая степень знаменателя равна трём. Совершенно очевидно, что если реально раскрыть скобки, то мы не получим степени, больше трёх. Вывод: Старшая степень числителя СТРОГО меньше старшей степени знаменателя, значит, дробь интеграл дроби примеры правильной. Если бы в данном примере в числителе находился многочлен 3, 4, 5 и т. Сейчас мы будем рассматривать только правильные дробно-рациональные функции. Случай, когда степень числителя больше либо равна степени знаменателя, разберём в конце урока. Разложим знаменатель на множители. Смотрим на наш знаменатель: Вообще говоря, здесь уже произведение множителей, но, тем не менее, задаемся вопросом: нельзя ли что-нибудь разложить еще? Объектом пыток, несомненно, выступит квадратный трехчлен. Решаем квадратное уравнение: Дискриминант больше нуля, значит, трехчлен действительно раскладывается на множители: Общее правило: ВСЁ, что в знаменателе МОЖНО разложить на множители — раскладываем на множители Начинаем оформлять решение: Шаг 3. Методом неопределенных коэффициентов раскладываем подынтегральную функцию в сумму простых элементарных дробей. Смотрим на нашу подынтегральную функцию: И, знаете, как-то проскакивает интуитивная мысль, что неплохо бы нашу большую дробь превратить в несколько маленьких. Например, вот так: Возникает вопрос, а можно ли вообще так сделать? Вздохнем с облегчением, соответствующая теорема математического анализа утверждает — МОЖНО. Такое разложение существует и единственно. Только есть одна загвоздочка, коэффициенты мы пока не знаем, отсюда и название — метод неопределенных коэффициентов. Как вы догадались, последующие телодвижения так, не гоготать! Будьте внимательны, подробно объясняю один раз! Итак, начинаем плясать от: В левой части приводим выражение к общему знаменателю: Теперь благополучно избавляемся от знаменателей т. В свою бытность учителем, я научился выговаривать это правило с каменным лицом: Для того чтобы умножить на нужно каждый член одного многочлена интеграл дроби примеры на каждый член другого многочлена. С точки зрения понятного объяснения коэффициенты лучше внести в скобки хотя лично я никогда этого не делаю в целях экономии времени : Составляем систему линейных уравнений. Сначала разыскиваем старшие степени: И записываем соответствующие коэффициенты в первое уравнение системы: Хорошо запомните следующий нюанс. Что было бы, если б в правой части вообще не было? Скажем, красовалось бы просто без всякого квадрата? В этом случае в уравнении системы нужно было бы поставить справа ноль:. А потому что в правой части всегда можно приписать этот самый квадрат интеграл дроби примеры нулём: Если в правой части отсутствует какие-нибудь переменные или и свободный член, то в правых частях соответствующих уравнений системы ставим нули. Далее процесс идет по снижающейся траектории, от водки к пиву, отмечаем все «иксы»: Записываем соответствующие коэффициенты во второе уравнение системы: И, наконец, минералка, подбираем свободные члены. Шутки прочь — математика интеграл дроби примеры серьезная. У нас в институтской группе никто не смеялся, когда доцент сказала, что разбросает члены по и выберет из них самые большие. Настраиваемся на серьезный лад. Хотя… кто доживет до конца этого урока, все равно будет тихо улыбаться. Система готова: Решаем систему: 1 Из первого уравнения выражаем и подставляем его во 2-е и 3-е уравнения системы. На самом деле можно было выразить или другую букву из другого уравнения, но в данном случае выгодно выразить именно из 1-го уравнения, поскольку там самые маленькие коэффициенты. Если возникли трудности интеграл дроби примеры методами решения системы отработайте их на уроке После решения системы всегда полезно сделать проверку — подставить найденные значения в каждое уравнение системы, в результате всё должно «сойтись». Коэффициенты найдены, при этом: Чистовое оформление задание должно выглядеть примерно так: Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: Как видите, основная трудность задания состояла в том, чтобы составить правильно! А на завершающем этапе всё не так сложно: используем свойства линейности интеграл дроби примеры интеграла интегрируем. Обращаю внимание, что под каждым из трёх интегралов у нас «халявная» сложная функция, об особенностях ее интегрирования я рассказал на уроке. Проверка: Дифференцируем ответ: Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно. В ходе проверки пришлось приводить выражение к общему знаменателю, и это не случайно. Метод неопределенных коэффициентов и приведение выражения к общему знаменателю — это взаимно обратные действия. Пример 2 Найти неопределенный интеграл. Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Вернемся к дроби из первого примера:. Нетрудно заметить, что в знаменателе все множители РАЗНЫЕ. Возникает вопрос, а что делать, если дана, например, такая дробь:? Здесь в знаменателе у нас степени, или, по-математически кратные множители. Кроме того, есть неразложимый на множители квадратный трехчлен легко убедиться, что дискриминант уравнения отрицателен, поэтому на множители трехчлен никак не разложить. Разложение в сумму элементарных дробей будет выглядеть наподобие с неизвестными коэффициентами вверху или как-то по-другому? Пример 3 Представить функцию интеграл дроби примеры виде суммы элементарных дробей с неизвестными коэффициентами. Проверяем, правильная ли у нас дробь Старшая степень числителя: 2 Старшая степень знаменателя: интеграл дроби примерызначит, дробь является правильной. Интеграл дроби примеры ли что-нибудь разложить в знаменателе на множители? Очевидно, что нет, всё уже разложено. Квадратный трехчлен интеграл дроби примеры раскладывается в произведение по указанным выше причинам. Представим дробно-рациональную функцию в виде суммы элементарных дробей. В данном случае, разложение имеет следующий вид: Смотрим на наш знаменатель: При разложении дробно-рациональной функции в сумму элементарных дробей можно выделить три принципиальных момента: 1 Если в знаменателе находится «одинокий» множитель в первой степени в нашем интеграл дроби примерыто вверху ставим неопределенный коэффициент в нашем случае. В нашем примере два кратных множителя: иеще раз взгляните на интеграл дроби примеры мной разложение и убедитесь, что они разложены именно по этому правилу. На самом деле, есть еще 4-й случай, но о нём я умолчу, интеграл дроби примеры на практике он встречается крайне редко. Пример 4 Представить функцию в виде суммы элементарных дробей с неизвестными коэффициентами. Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Если Вы разобрались, по каким принципам нужно раскладывать дробно-рациональную функцию в сумму, то сможете разгрызть практически любой интеграл рассматриваемого типа. Пример 5 Найти неопределенный интеграл. Очевидно, что дробь является правильной: Шаг 2. Можно ли что-нибудь разложить в знаменателе на множители? Раскладываем знаменатель на множители, используя формулу сокращенного умножения Шаг 3. Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию интеграл дроби примеры сумму элементарных дробей: Обратите внимание, что интеграл дроби примеры неразложим на множители проверьте, что дискриминант отрицательныйпоэтому вверху мы ставим линейную функцию с интеграл дроби примеры коэффициентами, а не просто одну буковку. Приводим дробь к общему знаменателю: Составим и решим систему: 1 Из первого уравнения выражаем и подставляем во второе уравнение системы это наиболее рациональный способ. Все дальнейшие расчеты, в принципе, устные, так как система несложная. Что произошло во втором интеграле? С этим методом Вы можете ознакомиться в последнем параграфе урока. В третьем интеграле начинаем выделять полный квадрат предпоследний параграф урока. А вот вам еще пара примеров для самостоятельного решения, один похожий, другой — труднее. Пример 6 Найти неопределенный интеграл дроби примеры. Пример 7 Найти неопределенный интеграл дроби примеры. Интегрирование неправильной дробно-рациональной функции Интеграл дроби примеры к рассмотрению случая, когда старшая степень числителя больше интеграл дроби примеры равна старшей степени знаменателя. Пример 8 Найти неопределенный интеграл. Совершенно очевидно, что данная дробь является неправильной: Основной метод решения интеграла с неправильной дробно-рациональной функций — это деление числителя на знаменатель. Алгоритм деления многочленов столбиком рассматривался на урокеи сейчас мы закрепим навыки. Сначала рисуем «заготовку» для деления: ВСЕ недостающие степени или свободные члены без пропусков записываем в ОБОИХ многочленах с нулевыми коэффициентами Теперь маленькая задачка, на какой множитель нужно умножитьчтобы получить? Очевидно, что на : Далее умножаем сначала напотом — наинтеграл дроби примеры — напотом — на 0 и записываем результаты слева: Проводим черточку и производим вычитание из верха вычитаем низ : Старшая степень остатка равна двум, старшая степень делителя — больше, она равна трём, значит, больше разделить не удастся. Если бы изначально у нас был в числителе многочлен пятой степени, то то алгоритм деления увеличился бы на один шаг. Итак, наше решение принимает следующий вид: Делим числитель на знаменатель: 1 Что дало деление? Много хорошего: теперь у нас два слагаемых, первое — интегрируется совсем просто, а второе — правильная дробь, которую мы решать уже умеем. После деления всегда желательно выполнять проверку. В рассматриваемом примере можно привести к общему знаменателюи в результате получится в точности исходная неправильная дробь 2 От первого слагаемого сразу берем интеграл. Знаменатель дроби раскладываем на множители Интеграл дроби примеры всё идет по накатанной схеме: Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: Готово. И, наконец, заключительный пример для самостоятельного решения. Он очень интересен, рекомендую всем! Пример 9 Найти неопределенный интеграл. Только что обратил внимание, интеграл дроби примеры во всех примерах урока в ходе решения систем у нас получались «хорошие» целые коэффициенты. По той причине, что почти все интегралы я взял из сборника Рябушко. На практике жекогда автор методички придумает какой-нибудь корявый интеграл, часто будут появляться разные нехорошести. Таким образом, если в ходе решения интеграла от дробно-рациональной функции у Вас получаются дробные значения коэффициентовто в этом нет ничего страшного, ситуация даже обыденна. Решения и ответы: Пример 2: Решение: Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в интеграл дроби примеры элементарных дробей: Комментарий: в правой части у нас нет слагаемого споэтому в интеграл дроби примеры уравнении системы ставим справа ноль. Пример 4: Решение: Шаг 1. Проверяем, правильная ли у нас дробь Старшая степень числителя: 6 Старшая степень знаменателя: 8значит, дробь является правильной. Можно ли что-нибудь интеграл дроби примеры в знаменателе на множители. Множитель разложить нельзя, а вот — можно: Шаг 3. Представим дробно-рациональную функцию в виде суммы элементарных дробей. Для того чтобы разделить числитель на знаменатель придётся временно раскрыть скобки в знаменателе. Используем прием, который рассмотрен в первом параграфе урока. Знаменатель оставшейся, уже правильной, дроби снова записываем в виде произведения множителей. Тут я немного подсократил разложение, надеюсь, всем понятно, что Далее накатанная колея… Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: Вы выполнили проверку, мож где ошибочка вышла ; Автор: Емелин Александр Переход на главную страницу.



COPYRIGHT © 2010-2016 licey-portal.ru